切って動かしてみる(その2)

座標平面上に一辺の長さが2の正三角形ABCがある。

${ f:x/3+y-t = 0 }$ の直線で正三角形ABCを切っていくことを考える。

t=0のときは、直線fは頂点Aを通る。

直線fが頂点Cを通るとき最大のtを得るため、そのときのtはt=(1+3√3)/3のときであることがわかる。

よって、直線fが正三角形ABCと交点を持つようなtの範囲は

${ 0 \leqq t \leqq (1+\sqrt3)/3 }$ となる。

直線fをtの範囲で動かし、直線fと辺AB,辺BCの交点をPとし

さらに直線fと辺ACの交点をQとする。

直線ABと直線fとの交点Pは (3t,0)であり、点Pが頂点Bと一致するまで直線fは辺AB上を通る。

直線fが頂点Bを通るときのtの値は、t=2/3である。以上より、直線fが辺AB上を通るときのtの範囲は

${ 0 \leqq t \leqq 2/3 }$ となる

直線fと辺BC上の交点Pは点Bから点Cまで移動するため、 ${ 2/3 \leqq t \leqq (1+\sqrt3)/3 }$ となる

辺AB上にあるときの点Pの座標は先ほど求めた(3t,0)である。

直線fと辺ACの交点の座標を求める。

直線ACは

${ \sqrt3x-y = 0 }$ であり、直線ACと直線fとの交点Qを求めると、

${ \large 　Q:(\frac{3t}{3\sqrt3+1},\frac{3\sqrt3t}{3\sqrt3+1}) }$ となる

辺BC上にあるときの点Pの座標は、直線BCと直線fとの交点である。

直線BCは ${ \sqrt3x+y-2*\sqrt3 = 0 }$ であり、直線BCと直線fとの交点Pを求めると、

${ \large 　P:(\frac{3(t-2\sqrt3)}{1-3\sqrt3},\frac{\sqrt3(2-3t)}{1-3\sqrt3}) }$ となる。

${ \large PQ^{2} = (3t- \frac{3t}{3\sqrt3+1} )^{2} + (0- \frac{3\sqrt3t}{3\sqrt3+1} )^{2} }$

${ \large PQ^{2} = (\frac{3\sqrt3*3t}{3\sqrt3+1} )^{2} + (\frac{3\sqrt3t}{3\sqrt3+1} )^{2} }$

${ \large PQ^{2} = 10(\frac{3\sqrt3*t}{3\sqrt3+1} )^{2} }$

${ \large PQ = \sqrt10|\frac{3\sqrt3t}{3\sqrt3+1}| }$

${ \large PQ = (\frac{ 3\sqrt30}{3\sqrt3+1})t }$

${ \large PQ^{2} = (\frac{3(t-2\sqrt3)}{1-3\sqrt3}- \frac{3t}{1+3\sqrt3} )^{2} + (\frac{\sqrt3(2-3t)}{1-3\sqrt3}- \frac{3\sqrt3t}{1+3\sqrt3} )^{2} }$

${ \large PQ^{2} = (\frac{3(9+\sqrt3-3\sqrt3t)}{13})^{2} + (\frac{\sqrt3(3t-1-3\sqrt3)}{13} )^{2} }$

${ \large PQ^{2} = (\frac{9(27t^{2}-(1+3\sqrt3)18t+18\sqrt3+84)}{13})^{2} + (\frac{3(9t^{2}-(1+3\sqrt3)6t+6\sqrt3+28)}{13} )^{2} }$

${ \large PQ^{2} = (\frac{10(27t^{2}-(1+3\sqrt3)18t+18\sqrt3+84)}{13})^{2} }$

${ \large PQ = |\frac{10(27t^{2}-(1+3\sqrt3)18t+18\sqrt3+84)}{13}| }$

${ \Large PQ = \frac{\sqrt(10(27t^{2}-(1+3\sqrt3)18t+18\sqrt3+84))}{13} }$

t	辺上の点	線分PQの長さ
t=0	点A(0,0)	0
0≦t<2/3	点P(3t,0), ${ 　Q:(\frac{3t}{3\sqrt3+1},\frac{3\sqrt3t}{3\sqrt3+1}) }$	${ \large PQ = (\frac{ 3\sqrt30}{3\sqrt3+1})t}$
2/3≦t<(1+√3)/3	${ \large 　P:(\frac{3(t-2\sqrt3)}{1-3\sqrt3},\frac{\sqrt3(2-3t)}{1-3\sqrt3}) }$ , ${ \large 　Q:(\frac{3t}{3\sqrt3+1},\frac{3\sqrt3t}{3\sqrt3+1}) }$	${ \Large PQ = \frac{\sqrt(10(27t^{2}-(1+3\sqrt3)18t+18\sqrt3+84))}{13}}$
t=(1+√3)/3	点C(1,√3)	0